Ma trận suy biến là gì hay nhất được tổng hợp bởi Nội Thất Cosy, đừng quên chia sẻ bài viết thú vị này nhé!
>>Xem thêm Các phương pháp tính định thức của ma trận
>> Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
>>Định thức của ma trận và các tính chất của định thức
>> Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch
>>Cơ sở của không gian véctơ
Ví dụ 1: Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$ khả nghịch. Chứng minh rằng nếu $A+B$ khả nghịch thì ${{A}^{-1}}+{{B}^{-1}}$ cũng khả nghịch.
Giải. Có $A({{A}^{-1}}+{{B}^{-1}})B=A{{A}^{-1}}B+A{{B}^{-1}}B=EB+AE=B+A.$
Do đó $det (B+A)=det left( A({{A}^{-1}}+{{B}^{-1}})B right)=det (A)det ({{A}^{-1}}+{{B}^{-1}})det (B).$
Do $det (A)ne 0;det (B)ne 0;det (A+B)ne 0Rightarrow det ({{A}^{-1}}+{{B}^{-1}})ne 0.$Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng ma trận $A$ vuông cấp $n$ thoả mãn ${{a}_{k}}{{A}^{k}}+{{a}_{k-1}}{{A}^{k-1}}+…+{{a}_{1}}A+{{a}_{0}}E=0({{a}_{0}}ne 0)$ thì ma trận $A$ khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của nó.
Giải. Có ${{a}_{k}}{{A}^{k}}+{{a}_{k-1}}{{A}^{k-1}}+…+{{a}_{1}}A=-{{a}_{0}}ELeftrightarrow Aleft( -frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{0}}}{{A}^{k-1}}-frac{{{a}_{k-1}}}{{{a}_{0}}}{{A}^{k-2}}-…-frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{0}}}E right)=E.$
Điều đó chứng tỏ ma trận $A$ khả nghịch và ${{A}^{-1}}=-frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{0}}}{{A}^{k-1}}-frac{{{a}_{k-1}}}{{{a}_{0}}}{{A}^{k-2}}-…-frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{0}}}E.$
Ví dụ 3: Cho $A,B$ là các ma trận thực vuông cấp $n$ khác nhau và thoả mãn điều kiện ${{A}^{3}}={{B}^{3}}$ và ${{A}^{2}}B=B{{A}^{2}}.$ Chứng minh rằng ma trận ${{A}^{2}}+{{B}^{2}}$ suy biến.
Giải. Có $({{A}^{2}}+{{B}^{2}})(A+B)={{A}^{3}}+{{A}^{2}}B+{{B}^{2}}A+{{B}^{3}}=2{{A}^{3}}+2{{B}^{2}}A=2({{A}^{2}}+{{B}^{2}})A.$
Giả sử $det ({{A}^{2}}+{{B}^{2}})ne 0$ khi đó $A+B=2ALeftrightarrow A=B$ (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy $det ({{A}^{2}}+{{B}^{2}})=0.$
Ví dụ 4: Cho $A$ là ma trận vuông. Điều kiện để $A$ là ma trận đối xứng là ${A}’=A;$ điều kiện để $A$ là ma trận phản đối xứng là ${A}’=-A.$ Chứng minh rằng:
- Mọi ma trận phản đối xứng cấp lẻ đều suy biến.
- Mọi ma trận $A$ vuông cấp lẻ thì $A-{A}’$ suy biến.
- Mọi ma trận vuông đều có thể phân tích thành tổng của một ma trận đối xứng và một ma trận phản đối xứng cùng cấp.
- Nếu $A$ là ma trận phản đối xứng cấp lẻ thì $E-A$ khả nghịch.
- Mọi giá trị riêng của ma trận thực đối xứng đều là các số thực; mọi giá trị riêng của ma trận thực phản đối xứng đều bằng 0 hoặc thuần ảo.
>>Xem thêm bài giảng Định thức và các tính chất của định thức
Ví dụ 5: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ thoả mãn $2{{A}^{3}}-A=E.$ Chứng minh rằng ma trận $E+2A$ khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của nó.
Giải. Có $(E+2A)(a{{A}^{2}}+bA+cE)=2a{{A}^{3}}+(a+2b){{A}^{2}}+(b+2c)A+cE.$
Ta sẽ chọn $a,b,c$ sao cho $2a{A^3} + (a + 2b){A^2} + (b + 2c)A = 2{A^3} – A Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 2a = 2\ a + 2b = 0\ b + 2c = – 1 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a = 1\ b = – frac{1}{2}\ c = – frac{1}{4} end{array} right..$
Xem thêm:: Danh sách 8 cách chỉnh âm thanh điện thoại tốt nhất hiện nay
Vậy $(E+2A)left( {{A}^{2}}-frac{1}{2}A-frac{1}{4}E right)=2{{A}^{3}}-A-frac{1}{4}E=E-frac{1}{4}E=frac{3}{4}ELeftrightarrow (E+2A)left( frac{4}{3}{{A}^{2}}-frac{2}{3}A-frac{1}{3}E right)=E.$
Điều đó chứng tỏ ma trận $E+2A$ khả nghịch và có ma trận nghịch đảo là ${{A}^{-1}}=frac{4}{3}{{A}^{2}}-frac{2}{3}A-frac{1}{3}E.$
Ví dụ 6: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông vuông cấp $nge 2$ thoả mãn $AB+A+B=O.$ Chứng minh rằng nếu $A$ khả nghịch thì $B$ khả nghịch.
Giải. Có biến đổi từ giả thiết có ${{A}^{-1}}$ như sau:
$begin{array}{l} AB + A + B = O Rightarrow {A^{ – 1}}left( {AB + A + B} right) = O Leftrightarrow {A^{ – 1}}AB + {A^{ – 1}}A + {A^{ – 1}}B = O\ Leftrightarrow B + E + {A^{ – 1}}B = O Leftrightarrow B(E + {A^{ – 1}}) = – E Rightarrow det (B)det (E + {A^{ – 1}}) = det ( – E). end{array}$
Do đó $det (B)ne 0;det (E+{{A}^{-1}})ne 0.$ Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 7: Cho $A,B$ là hai ma trậnvuông cùng cấp thoả mãn $AB+2019A+2020B=O.$ Chứng minh rằng các ma trận $A+2020E$ và $B+2019E$ khả nghịch.
Giải. Có $AB+2019A+2020B=OLeftrightarrow (A+2020E)(B+2019E)=2019.2020E.$
Do đó $det (A+2020E).det (B+2019E)=det (2019.2020E).$
Suy ra $det (A+2020E)ne 0;det (B+2019E)ne 0.$ Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 8: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cùng cấp, có cấp là số lẻ thoả mãn $AB=O.$ Chứng minh rằng ít nhất một trong hai ma trận $A+{A}’$ và $B+{B}’$ suy biến.
Ví dụ 9: Cho $A={{({{a}_{ij}})}_{ntimes n}}$ với ${{a}_{ij}}=-1,forall i=j;{{a}_{ij}}in left{ 0,2019 right},forall ine j.$ Chứng minh rằng ma trận $A$ khả nghịch.
Giải. Theo định nghĩa về định thức có: $det (A)-{{(-1)}^{n}}$ chia hết cho $2019$ do đó $det (A)ne 0.$
Ví dụ 10: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ thoả mãn ${{A}^{2019}}=O$ và $B(A-E)=A+3E.$ Chứng minh rằng ma trận $B$ khả nghịch.
Giải. Có $B(A-E)=A+3ERightarrow det (B)det (A-E)=det (A+3E).$
Ta cần chứng minh $det (A-E)ne 0;det (A+3E)ne 0.$
Theo giả thiết có:
Xem thêm:: Hướng dẫn cách tính thuế thu nhập cá nhân mới nhất năm 2022
$-E=-{{E}^{2019}}={{A}^{2019}}-{{E}^{2019}}=(A-E)({{A}^{2018}}+E{{A}^{2017}}+…+{{E}^{2017}}A+{{E}^{2018}}).$
Lấy định thức hai vế có $det (A-E)ne 0.$
Tương tự có ${{(3E)}^{2019}}={{A}^{2019}}+{{(3E)}^{2019}}=(A+3E)({{A}^{2018}}-3E{{A}^{2017}}+…+{{(3E)}^{2018}}).$
Lấy định thức hai vế có $det (A+3E)ne 0.$
Ví dụ 11: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ thoả mãn ${{A}^{2019}}=O$ và $A+2019E=AB.$ Chứng minh rằng ma trận $B$ suy biến.
Giải. Có ${{A}^{2019}}=ORightarrow {{left( det (A) right)}^{2019}}=0Leftrightarrow det (A)=0.$
Biến đổi $2019B=AB-A=A(B-E)Rightarrow {{2019}^{n}}det (B)=det (A)det (B-E)=0Leftrightarrow det (B)=0.$
Ví dụ 12: Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n.$ Chứng minh rằng nếu tồn tại số tự nhiên $m$ sao cho ${{A}^{m}}=O$ thì các ma trận $E-A$ và $E+A$ khả nghịch.
Giải. Có $E={{E}^{m}}={{E}^{m}}+{{A}^{m}}=(E+A)({{E}^{m-1}}-{{E}^{m-2}}A+…+{{A}^{m-1}}).$
Lấy định thức hai vế có $det (E+A)ne 0.$
Vì ${{A}^{m}}=0Rightarrow {{A}^{2m+1}}=0Rightarrow E={{E}^{2m+1}}={{E}^{2m+1}}-{{A}^{2m+1}}=(E-A)({{E}^{2m}}+{{E}^{2m-1}}A+…+{{A}^{2m}}).$
Lấy định thức hai vế có $det (E-A)ne 0.$
Ví dụ 13: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ thoả mãn $AB=BA$ và tồn tại các số nguyên dương $m,p$ sao cho ${{A}^{m}}=O,{{B}^{p}}=O.$ Chứng minh rằng các ma trận $E-A-B$ và $E+A+B$ khả nghịch.
Giải. Có $AB=BA$ nên ${{(A+B)}^{m+p}}=sumlimits_{k=1}^{m+p}{C_{m+p}^{k}{{A}^{m+p-k}}{{B}^{k}}}=O.$
Do đó theo ví dụ 12 có ngay điều phải chứng minh.
Ví dụ 14: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông thực cấp 2019 thoả mãn:
$det (A)=det (A+B)=det (A+2B)=…=det (A+2019B)=0.$
Xem thêm:: Top 8 ứng dụng vẽ anime trên máy tính, điện thoại
Chứng minh rằng với mọi $x,yin mathbb{R}$ ta có $det (xA+yB)=0.$
Ví dụ 15: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n.$ Chứng minh rằng nếu tồn tại số nguyên dương $m$ thoả mãn ${{(A+E)}^{m}}=O$ thì ma trận $A$ khả nghịch.
Ví dụ 16: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ thoả mãn ${{A}^{2019}}=2019A.$ Chứng minh rằng ma trận $A-E$ khả nghịch.
Giải. Biến đổi giả thiết:
$begin{array}{l} {A^{2019}} – 2019A = O Leftrightarrow ({A^{2019}} – {E^{2019}}) – 2019(A – E) = 2018E\ Leftrightarrow (A – E)left( {{A^{2018}} + {A^{2017}} + … + A + E – 2019E} right) = 2018E\ Leftrightarrow (A – E)left( {{A^{2018}} + {A^{2017}} + … + A – 2018E} right) = 2018E. end{array}$
Lấy định thức hai vế có $det (A-E)ne 0.$
Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:
- Khoá: PRO S1 – MÔN TOÁN CAO CẤP 1 – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
- Khoá: PRO S2 – MÔN TOÁN CAO CẤP 2 – GIẢI TÍCH
Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:
– ĐH Kinh Tế Quốc Dân
– ĐH Ngoại Thương
– ĐH Thương Mại
– Học viện Tài Chính
– Học viện ngân hàng
– ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội
và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước…
